lunes, 13 de julio de 2015

Raíces de reales positivos.

Raíces de reales positivos.

Raíces de un polinomio

La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.
Por ejemplo el polinomio
f(x) = x2 + x - 12
Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

x2 + x - 12 = 0Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0Factorizando.
x = - 4Solución 1
x = 3Solución 2

 Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12

Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3 ¿Por qué?

Factorización de un polinomio
El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio (Teorema fundamental del Álgebra). 
Para que podamos factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces. Cuando ya lasntengamos, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma ( x - r ) donde r es una de las raíces.
Esto es, si r1, r2, ... , rn son raíces del polinomio f(x) entonces la factorización de f(x) es:
f(x) = (x - r1) (x - r2) ... (x - rn)
Por ejemplo, si



  1. f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6
    como sus raíces son x = - 1, x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como

    f(x) = (x - (-1)) (x - 2) (x - 3) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)



  2. f(x)= x2 + x - 12
    como sus raíces son x = - 4 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como

    f(x) = (x - (-4)) (x - 3) = (x + 4) (x - 3)


Raíces Cuadradas de Números Reales Negativos
El número complejo $i$ es $\sqrt{-1}$. ¿Qué podemos decir acerca de las raíces cuadradas de los números reales negativos en general?
Si $a$ es un real negativo entonces $-a$ es un real positivo y $\sqrt{-a}$ (la raíz cuadrada positiva de $-a$), es un número real. Tenemos
MATH
Así que $\sqrt{-a}i$ y $-\sqrt{-a}i$ son las raíces cuadradas de $a $ para $a<0$.
La raíz cuadrada principal de $a$ es $\sqrt{-a}i$. Es denotada por $\sqrt{a}$.
Ejemplo 1.29.
  1. MATH
    MATH
  2. Si $b$ y $c$ son números reales positivos MATH. Sin embargo, en el caso de los reales negativos la igualdad no es válida. En efecto,
    MATH mientras que MATH
    MATH mientras que MATH
  3. MATH
    MATH
    MATH
AQUI UN VIDEO CON UNA EXPLICACION:




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Decimales periódicos y racionales

Número decimal periódico

Un número decimal periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:
\cfrac{1}{3} = 0,\boldsymbol{3}\,333\dots \; ; \quad \cfrac{1}{7} = 0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots
El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:
\cfrac{2}{3} = 0, \overset{\frown}{6} \; ; \quad \cfrac{12}{11} = 1, \overset{\frown}{09}

TIPOS DE NUMEROS PERIODICOS
  • Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
    • Ejemplo: 0,999\dots = 0,\bar{9}
  • Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
    • Ejemplo: 1.91222\dots = 1.91 \bar{2}, en donde 91 es el anteperíodo.

FRACCIÓN CORRESPONDIENTE A UN NUMERO PERIÓDICO
Una fracción puede dar un número decimal periódico:
\begin{array}{l} \cfrac{1}{9} = 0,111111111111...\\ \cfrac{1}{7} = 0,142857142857...\\ \cfrac{1}{3} = 0,333333333333...\\ \cfrac{2}{27} = 0,074074074074...\\ \cfrac{7}{12} = 0,58333333333... \end{array}
Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:
\begin{array}{rcll} x & = & 0,333333\ldots\\ 10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)} \\ 9x & = & 3 & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\ \\ x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3} & \text{(simplificando)} \end{array}
Otro ejemplo:
\begin{array}{rcl} x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\ 100x & = & 285,63636363\ldots \\ 99x & = & 282,78 \end{array}
x = \frac{282,78}{99} = \frac{28278}{9900} = \frac{1571}{550}
El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:
  • Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
    • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
    • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período
Ejemplo:
5,34\ 34\dots = \frac{534-5}{99} = \frac{529}{99}
  • Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
    • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
    • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.
Ejemplo:
12,345\ 67\ 67\ 67\dots = \frac{1234567-12345}{99000} = \frac{1222222}{99000} = \frac{611111}{49500}

Tipo de número periódico resultante[editar]

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:
  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:
\cfrac{7}{20}
como:
20 = 2 \cdot 2 \cdot 5
será exacta; en efecto
\cfrac{7}{20} = \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} = \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} \; \cfrac{5}{5} = \cfrac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)} = \cfrac{35}{100} = 0,35
Otro ejemplo:
\cfrac{7}{25}
como:
25 = 5 \cdot 5
será exacta; en efecto:
\cfrac{7}{25} = \cfrac{7}{5 \cdot 5} = \cfrac{7}{5 \cdot 5} \; \cfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \cfrac{7 \cdot 2 \cdot 2}{(5 \cdot 2)(5 \cdot 2)} = \cfrac{28}{100} = 0,28
  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:
Por ejemplo:
\cfrac{5}{21}
como:
21 = 3 \cdot 7
será periódica pura; en efecto:
\cfrac{5}{21} = 0,238095\ 238095\ 238095\dots
  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:
Por ejemplo:
\cfrac{5}{42}
como:
42 = 2 \cdot 3 \cdot 7
será periódica mixta, en efecto:
\cfrac{5}{42} = 0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots
mas no es seguro un resultado próximo.

NÚMEROS RACIONALES
  • Los racionales son números x que se pueden expresarse como fracción 'Números racionales'
    , en la cual p es un número entero que se denomina numerador q es entero distinto de cero que se denomina denominador.
  • Son números racionales, fracciones y decimales finitos, 'Números racionales'
    . También pertenecen a los números racionales los números 8,-5, 56 , 0, cuyo denominador es el 1, el que no se escribe. Por lo tanto, el conjunto Q de los racionales tiene subconjunto a los enteros (Z), a los cardinales (No) y a los Naturales (N)
  • Los Irracionales en cambio son aquellos números que no pueden ser escritos en forma fraccionaria, por ejemplo: los números decimales infinitos no-periódicos, raíces no exactas y algunas constantes. ( 0,5423178356493548712....; ; )
  • La unión de los racionales (Q) y los Irracionales (Q*) da como resultado un nuevo conjunto denominado: Números Reales (R) .
    • Clasificación de los Racionales: Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como decimal.
    Fracciones comunes:
    • Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.
    • Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador
    • Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.
    Decimales
    • Finitos
    • Infinitos Periódicos
    • Infinitos Semiperiódicos
  • Los decimales finitos son aquellos cuya parte decimal posee un número determinado de dígitos 1,875
  • Los decimales infinitos poseen una cantidad ilimitada de dígitos después de la coma. A su vez, pueden ser periódicos o semiperiódicos
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    R: Estructura de Campo

    1.1. Axiomas de Campo
    El conjunto de los n umeros reales R resulta ser la uni on de los n umeros
    racionales Q con los irracionales I. Para cada para de n umeros reales x; y se
    de nen las operaciones binarias de suma: x+y; y multiplicaci on: x · y. Dicho
    par de operaciones satisfacen los 6 Axiomas de Campo, esto es,

    AXIOMA 1: PROPIEDAD CONMUTATIVA.
    x + y = y + x
    x · y = y · x

    AXIOMA 2: PROPIEDAD ASOCIATIVA.
    (x + y) + z = x + (y + z)
    (x · y) · z = x · (y · z)

    AXIOMA 3: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.
    x · (y + z) = x · y + x · z

    AXIOMA 4: EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS.
    x + 0 = x
    x · 1 = x
    1
    AXIOMA 5: EXISTENCIA DE INVERSO ADITIVO.
    x + (−x) = 0

    AXIOMA 6: EXISTENCIA DE INVERSO MULTIPLICATIVO.
    x · x􀀀1 = 1; x ̸= 0

    Teoremas de Campo
    Nota: de los axiomas anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales
    de la Aritm etica con las que est a familiarizado el lector por sus estudios
    de Algebra Elemental. Las m as importantes de ellas se recogen a continuaci
    on como teoremas. En todos estos teoremas las letras: a; b; c; d; representan
    n umeros reales cualesquiera.

    Teorema 1. Ley de Simpli caci on para la suma.
    a + b = a + c ⇔ b = c

    Teorema 2. Posibilidad de la sustracci on. Dados a y b existe uno y s olo
    un x tal que a+x = b: Este x se designa por b−a: En particular, 0−a
    se escribe −a y se denomina el negativo de a.

    Teorema 3. b − a = b + (−a):
    Teorema 4. −(−a) = a:

    Teorema 5. a · (b − c) = a · b − a · c:
    Teorema 6. 0 · a = a · 0 = 0:

    Teorema 7. Ley de simpli caci on para la multiplicaci on. Si a · b = a · c
    y a ̸= 0; entonces b = c:

    Teorema 8. Posibilidad de la divisi on. Dados a y b, con a ̸= 0; existe
    uno y s olo x tal que a · x = b. El n umero x se designa por b=a o b
    a ; y se denomina cociente de b y a. En particular, 1=a se escribe tambi en a􀀀1
    y se denomina rec proco de a:

    Teorema 9. Si a ̸= 0, entonces, b=a = b · a􀀀1:

    Teorema 10. Si a ̸= 0, entonces, (a􀀀1)􀀀1 = a:

    Teorema 11. Si a · b = 0, entonces, a = 0 o b = 0:

    Teorema 12. (−a) · b = −(a · b); (−a) · (−b) = a · b:

    R: Campo Ordenado
    2.1. Axiomas de Orden en R
    Existe un subconjunto de R, denominado Conjunto de N umeros Reales
    Positivos, y denotado por R+, que satisface las siguientes propiedades:

    1. AXIOMA 1. LEY DE TRICOTOM IA. Para cada n umero real a s olo
    una de las siguientes proposiciones es verdadera:
    a ∈ R+
    a = 0
    −a ∈ R+

    2. AXIOMA 2. LEY DE CLAUSURA PARA LA SUMA.
    Si a; b ∈ R+ entonces a + b ∈ R+:

    3. AXIOMA 3. LEY DE CLAUSURA PARA EL PRODUCTO.
    Si a; b ∈ R+ entonces a · b ∈ R+:

    2.2. Relaci on de Orden en R

    1. DEFINICI ON 1: el conjunto de los N umeros Reales Negativos se de ne
    como
    R􀀀 := {a ∈ R| − a ∈ R+}:

    2. DEFINICI ON 2: sean a; b ∈ R n umeros reales arbitrarios. Se dice que
    a es menor que b, y se escribe a < b, ssi b − a ∈ R+:

    3. DEFINICI ON 3: sean a; b ∈ R n umeros reales arbitrarios. Se dice que
    a es mayor que b, y se escribe a > b, ssi b < a.

    4. La aplicaci on de las de niciones anteriores permite aseverar que:
    a < 0 ⇔ 0 − a ∈ R+ ⇔ −a ∈ R+ ⇔ a ∈ R􀀀;
    o sea,
    R􀀀 = {a ∈ R : a < 0}:
    5. La aplicaci on de las de niciones anteriores permite aseverar que:
    a > 0 ⇔ a − 0 ∈ R+ ⇔ a ∈ R+;
    o sea

    R+ = {a ∈ R : a > 0}:
    6. De los anteriores notamos que: R = R+ ∪ R􀀀 ∪ {0}.

    7. Nota: las expresiones a < b, b > a, y otras similares, se denominan
    Desigualdades

    aqui un video de la explicacion de un cuerpo:


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    ALGEBRA

    SUMA
    POLINOMIOS Y BINOMIOS

    MONOMIOS
    Sólo se pueden sumar monomios semejantes.
    La suma de dos monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
    axn + bxn = (a + b)bxn
    2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
    Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
    2x2 y3 + 3x2 y3 z

    POLINOMIOS

    Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
    P(x) = 2x3 + 5x − 3      Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
    1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
    Q(x) = 2x 3− 3x2 + 4x
    P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2+ 4x)
    2Agrupamos los monomios del mismo grado.
    P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
    3Sumamos los monomios semejantes.
    P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
    También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
    P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2      
    Q(x) = 6x3 + 8x +3
    Suma de monomios
    P(x) + Q(x) =
    = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5

    Resta de polinomios y binomios

    RESTA DE MONOMIOS

    Para restar monomios se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Hay que tener en cuenta que solamente se pueden restar los monomios que son semejantes.
    axn - bxn = (a - b)xn
    Ejemplo de rests de monomios:
    4x2y3z - 5x2y3z = -x2y3z
    RESTA DE POLINOMIOS
    La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
    P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
    P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
    P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3
    P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3



    MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

    MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

    Al multiplicar dos monomios obtenemos otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y la parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base. Y ya sabemos que la multiplicación de potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
    axn · bxm = (a · b)xn + m
    Ejemplo de multiplicación de monomios:
    (4x2y3z) · (3y4z2) = 12x2y7z3
    Al multiplicar un número por un monomio obtenemos otro monomio semejante cuyo coeficiente será el producto del coeficiente del monomio por el número en cuestión.
    b ∙ axny = (b ∙ a) xny
    Ejemplo de multiplicación de un número por un monomio:
    3 · (2x2 y3 z) = 6x2 y3 z
    Multiplicación por polinomios
    La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

    La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera  se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

    Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir, que dados los polinomios cualesquiera , se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

    Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes:
    a)      Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo positivo.
    b)      Si el multiplicador tiene  signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.
    c)      Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.
    d)      Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.

    Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:
    +
    ×
    +
    = +
    +
    ×
    -
    = -
    -
    ×
    +
    = -
    -
    ×
    -
    = +

    En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:
    a)      Multiplicación de monomios.
    b)      Multiplicación de un polinomio por un monomio
    c)      Multiplicación de polinomios


    Multiplicación de un polinomio por un monomio

    Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.

    Ejemplo:
    Multiplicar 
    Solución: 

    Ejemplo:
    Multiplicar: 
    Solución: 
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    Propiedades de las operaciones.

    Propiedades de las operaciones.


     Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre operatoria en Números Enteros y Números Racionales. También deben conocerse las propiedades de las potencias.
    Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se realicen. Se pueden restar o sumar términos semejantes, multiplicar expresiones algebraicas o bien simplificarlas.

    Símbolos y términos específicos

    Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas.

    Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.

    Operaciones y agrupación de símbolos

    La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos o signos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.

    Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces, como en el siguiente ejemplo:



    Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división (:).

    En el caso de la multiplicación, el signo ‘×’ normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a·b. Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c.

    La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones. 
    Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.

    Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c – dy) representa la fracción:





    Prioridad de las operaciones

    Cada expresión algebráica (y matemática) posee una estructura estrictamente jerarquizada.

    Esto significa que para resolver una expresión algebraica es necesario seguir un orden establecido con el fin de garantizar que los cálculos tengan sólo un resultado.

    Ese orden es el siguiente: 
    1) Cuando no hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios números positivos y negativos los agrupamos y después los sumamos.

    2) Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se realizan en primer lugar todas las operaciones que se encuentren dentro de ellos, respetando la secuencia general.

    Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno.

    Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los quitamos aplicando la regla de los signos. Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos (recuerden que la regla de los signos se aplica solo para multiplicaciones y divisiones).

    3) Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y raíces tienen la misma jerarquía)

    4) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones (multiplicaciones y divisiones tienen la misma jerarquía)

    5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la misma jerarquía)

    Cuando un conjunto de operaciones se encuentran en el mismo nivel de prioridad o jerarquía, las operaciones se realizan desde la izquierda hacia la derecha. 
    Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo igual

    Es común que muchos estudiantes consideren el signo = solo como una invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia.

    Así, por ejemplo, interpretan la expresión

    5 + 8 = x + 3

    en términos similares a los siguientes: “A 5 se le suma 8 y al resultado (x) se le suma 3”.

    Por tal razón, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así:

    5 + 8 = x + 3 = 16

    Como dijimos, este es un error muy común. Es importante, en este sentido, hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que está a la izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8) representa la misma cantidad que lo que está a su derecha (en este caso, x + 3). Para que ello se cumpla, x debe valer 10.
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