sábado, 30 de mayo de 2015

Convertir Decimales a Fracciones

Para convertir un Decimal a una Fracción sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.

Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)

Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción

Ejemplo 1: Expresar 0,75 como fracción

Paso 1: Escribe:

0,75

Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):

× 100

0,75	=	75

1		100

× 100

(¿Ves como el número de arriba se convierte
en un entero?)

Paso 3: Simplifica la fracción:

÷ 25

75	=	3

100		4

÷ 25

Respuesta = 3/4

Nota: ¡75/100 se llama una fracción decimal y 3/4 es llamada una fracción común !

Ejemplo 2: Expresa 0,625 como una fracción

Paso 1: escribe:

0,625

Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1,000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1,000)

625

1.000

Paso 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):

	÷ 25		÷ 5

625	=	25	=	5

1,000		40		8

	÷ 25		÷ 5

Respuesta = 5/8

Ejemplo 3: Expresa 0,333 como fracción

Paso 1: Escribe abajo:

0,333

Paso 2: Multiplica el número de arriba y el de abajo por 1000 (había tres dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1000)

333

1.000

Step 3: Simplifica la Fracción:

¡No se puede simplificar!

Respuesta = 333/1000

Pero una Nota Especial:

Si en realidad quieres expresar 0,333... (en otras palabras los 3 repitiéndose para siempre lo que se llama 3 periódico) entonces necesitas seguir un argumento especial. En este caso escribimos:

0,333...

Y entonces MULTIPLICAMOS ambos lados por 3:

× 3

0,333...	=	0,999...

1		3

× 3

Y 0,999... = 1 (¿Es así? - ver la discusión sobre 9 Periódico si estás más interesado), así que:

Respuesta = 1/3

Convertir números decimales en fracciones

Convertir números decimales en fracciones es muy simple siempre y cuando el decimal sea finito, es decir termina, porque ¡todos los números decimales finitos SON fracciones por su definición! Tienen un denominador de 10, 100, 1000, 10 000 etc.

Si el número decimal tiene UN dígito decimal, el denominador es 10.
Si tiene dos dígitos decimales, el denominador es 100.
Si tiene tres dígitos decimales, el denominador es 1000.
Si tiene cuatro dígitos decimales, el denominador es 10000.
Y así en adelante. Si tiene n dígitos decimales, el denominador es 10ⁿ.

El numerador de la fracción es el "número original" sin el punto decimal.

Por ejemplo:

0.5 es 5/10

0.9 es 9/10

0.42 es 42/100

4.32 es 432/100

5.008 es 5008/1000

34.50396 es 3450396/100000

Por supuesto, a veces es posible simplificar la fraccion que se consigue. Por ejemplo, 0.5 es 5/10 pero se la puede simplificar a 1/2.

aqui un video para una explicacion:

Suma de Fracciones

a + b = ad + bc Suma de Fracciones con distinto denominador
c d cd

ejemplos:

1 + 1 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7
4 3 (4)(3) 12 12

Producto de Fracciones

1º Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador.

2º Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.

3º Después se simplifica.

Fracción de un número: Es una multiplicación de fracciones, el número tiene como denominador uno.

Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.

Fracción inversa: Se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el denominador y el numerador es el nuevo denominador. Una fracción multiplicada por su inversa da la unidad.

Ejemplos

$Operaciones fracciones$

lunes, 25 de mayo de 2015

Números Irracionales Q´

Números Irracionales

El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables.

Definición:

Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número

2 \sqrt

la raíz de 2 es 1.4142135623730950488016887242097, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

Números irracionales famosos:

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1,61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3	1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99	9,9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Historia de los números irracionales:

Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!.

Euclides (300 a.C.) recoge en su obra Los Elementos una referencia a los números irracionales y prueba el siguiente teorema que, posiblemente ya fue probado casi 300 años antes por el propio Pitágoras o alguno de sus discípulos.

EL NUMERO π:

Pi

La proporción entre la circunferencia y
el diámetro de un círculo.

Es aproximadamente:

3,14159265358979323846…

Las cifras siguen y siguen sin un patrón. De hecho aunque calcules un millón de cifras decimales no encontrarás que se repiten.

Aproximación:

Una aproximación rápida y fácil de pi es 22/7

22/7 = 3,1428571...

Pero como ves, 22/7 no es el valor exacto. De hecho pi no es igual a ninguna fracción, por eso es un número irracional.

EL NUMERO e:

El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas.

Las primeras cifras son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler

e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier). Por otra parte los logaritmos comunes tienen base 10.

Calcularlo

El valor de (1 + 1/n)ⁿ se aproxima a e cuanto más grande es n:

n	(1 + 1/n)ⁿ
1	2,00000
2	2,25000
5	2,48832
10	2,59374
100	2,70481
1.000	2,71692
10.000	2,71815
100.000	2,71827

OTROS IRRACIONALES:

Ejemplos de números irracionales:

En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados números irracionales algebraicos con ejemplos, ya habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada de dos que resulta de una ecuación algebraica, pero también tenemos otros ejemplos que podrían resultar son:

1 + 3 \sqrt 2

1 + \sqrt 3 - - - - - - \sqrt 4

Por otro lado, tenemos a los números irracionales trascendentes, que no pueden representarse mediante radicales como se lo ha hecho en el ejemplo anterior, sino que deben ser representados con decimales infinitos no periódicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo contrario estaríamos escribiendo números durante toda la eternidad, así:

0,1961325454898161376813268743781937693498749…
0,01001000100001000001000000100000001000000001…

Aquí un vídeo sobre los números irracionales: