lunes, 11 de mayo de 2015

Teorema Fundamental de la Aritmetica

Teorema Fundamental de la Aritmética

En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,
6936 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17^2 \,
1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \,
No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.
Por definición, un producto vacío tiene por resultado 1, con lo cual el teorema vale también para 1 si se toma como el producto de cero factores.

APLICACIONES:

Representación canónica de un entero positivo
Todo entero positivo n > 1 puede ser representado exactamente de una única manera como un producto de potencias de números primos:
n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k} = \prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}
donde p1 < p2 < ... < pk son primos y αi son enteros positivos.
Esta representación se llama representación canónica1 de n, o forma estándar2 3 de n.
Por ejemplo 999 = 33×37, 1000 = 23×53, 1001 = 7×11×13
Nótese que los factores p0 = 1 pueden ser insertados sin cambiar el valor de n (p.e. 1000 = 23×30×53). En efecto, cualquier número positivo puede ser representado únicamente como un producto infinito tomado sobre todo el conjunto de los números primos,
n=2^{\alpha_2}3^{\alpha_3}5^{\alpha_5}7^{\alpha_7}\cdots=\prod_{\mathbb{P}} p^{\alpha_{p}}
donde un número finito de αp son enteros positivos, y el resto son cero. Permitiendo exponentes negativos se proporciona una forma canónica para los números racionales.

Aqui un pequeño video para que te enriquescas mas sobre el tema:



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