Algebra Superior 2: marzo 2015

martes, 24 de marzo de 2015

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Fíjate muy bien en el significado de cada una de las tres palabras: máximo, común, divisor.

Máximo: El mayor.
Común: Que sirva para dos o más números a la vez.
Divisor: Que al dividir por este número, el resto de cada una de las divisiones nos dé cero.

Ejemplo:

Tenemos los números 24 y 20 ¿Cuál es el mayor número que podemos escribir en el divisor de modo que al dividir 24 y 20 por dicho número nos dé cero de resto?
¿Qué número pondrías en el lugar de X?

Como 24 y 20 son divisibles por 2, podríamos escribir 2 en el lugar de X.

Vemos que también podríamos reemplazar X por 4.
En ambos casos el resto es cero.
¿Cuál de los dos valores es el MÁXIMO COMÚN DIVISOR?
Como verás, el mayor de los dos será el 4.
El máximo común divisor de 24 y 20 es 4 y lo escribimos de modo más reducido:
m.c.d.(24,20) = 4
3.51 ¿Cuál es el máximo común divisor de 15 y 3?
3.52 ¿Cuál es el máximo común divisor de 21 y 14?
3.53 ¿Cuál es el máximo común divisor de 30 y 20?
Respuestas:
3.51 El m.c.d(15 y 10) = 5
3.52 El m.c.d(21 y 14) = 7
3.53 El m.c.d(30 y 20) = 10
¿Solamente se puede calcular el m.c.d. de dos números?
Puedes calcular de tres o más.
3.54 Calculamos el:
El m.c.d (90, 36 y 12)

Hacer este calculo de memoria, probando, tanteando es muy trabajoso.
Hay varios modos de hacer el cálculo. Nosotros vamos a estudiar dos maneras sin hacer uso del ordenador. Tú escoges el que te parezca mejor.

Descomponemos 90, 36 y 12 en sus factores primos:

Cuando hayas acabado de descomponer en factores primos escribes:

Ahora te fijas qué factor o divisor con menor exponente está en los tres números.
El 2 y el 3 están contenidos en 90, 36 y 12, luego, 2x3=6 el máximo común divisor y escribimos:

m.c.d (90, 36 y 12) = 6

PROPIEDADES:

1. Si

\ \operatorname{mcd}(a,b)=d

entonces

\ \operatorname{mcd} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1

2. Si

\ m

es un entero,

\ \operatorname{mcd}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{mcd}(a,b)

3. Si

\ p

es un número primo, entonces

\ \operatorname{mcd}(p,m)=p

o bien

\ \operatorname{mcd}(m,p)=1

4. Si

d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{mcd}(m'',n'')=1

, entonces

\ d=d'

5. Si

\ d'

es un divisor común de

\ m

\ n

, entonces

d'\mid \operatorname{mcd}(m,n)

6. Si

\ m=nq+r

, entonces

\operatorname{mcd}(m,n)=\operatorname{mcd}(n,r)

7. Si

\ m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\;\, \mathrm y \;\, n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\;\, \alpha_i, \beta_i\geq 0, \;\, i=1,...,k

, entonces:

\operatorname{mcd}(m,n)=p_1^{\operatorname{min}(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k ^ {\operatorname{min} (\alpha_k, \beta_k)}

Aquí un vídeo para apoyarte sobre el tema:

COMBINACIÓN LINEAL

Una combinación lineal es una expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de determinados conjuntos, multiplicados entre sí.

En particular, la combinación lineal de un conjunto de vectores se trata de un vector de la forma

$v = k_1 v_1 + k_2 v_2 + ... + k_n v_n = \sum_{i=1}^n k_i v_i$

con los

k_i

elementos de un cuerpo.

Definición:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B.

Se define como combinación lineal a toda expresión de la forma

$\sum_{\begin{smallmatrix}a \in A \\ b\in B\end{smallmatrix}} a b.$

Resulta de especial interés la definición de combinación lineal de un vector con respecto a un conjunto.

Espacios vectoriales

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo

\mathbb{K}

y un conjunto

\ A = \{ v_1, v_2, v_3,..., v_n \}

de vectores en V, es decir,

A\subset V

Se dice que un vector $v \in V$ es combinación lineal de A si $\exists k_1, \dots, k_n \in \mathbb{K} : v = \sum_{i=1}^n k_i v_i$ .

En términos no tan formales, diremos que

v

es combinación lineal de vectores de

A

si podemos expresarlo como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de

A

. En este caso, también se dice que

v

depende linealmente de los vectores de

A

Ejemplos.

Ejemplo 1. Considere el espacio vectorial R3 de triadas ordenadas de números reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real.

1. Considere el conjunto S = {~v1}, formado por un único vector ~v1. Entonces, el espacio [S] esta dado por

[S] = {λ~v1|λ ∈ K}

Geometricamente [S] esta formado por una línea que pasa por el origen y tiene la dirección del vector ~v1.

2. Considere el conjunto S = {~v1,~v2}, formado por dos vectores ~v1,~v2. Entonces, el espacio [S] esta dado por

[S] = {λ1~v1 + λ2~v2|λ1,λ2 ∈ K}

Geometricamente [S] esta formado por un plano que pasa por el origen y contiene a los vectores ~v1 y ~v2. Mas aun, una normal al plano esta dada por ~v1 × ~v2, donde × indica el producto vectorial de los vectores.

A CONTINUACIÓN UN VÍDEO CON UNA BREVE EXPLICACIÓN:

DIVISIBILIDAD

LA DIVISIÓN EXACTA

Decimos que una división es exacta cuando al hacerla, obtenemos un resultado (llamado cociente) y además no queda residuo, o dicho de otra forma, el residuo es cero. Veamos un ejemplo de división exacta (35370 entre 45):

Ahora veremos un ejemplo de división que no es exacta (4567 entre 26):

Claro que en el caso de la segunda operación, si así lo hubiéramos querido podíamos proseguir con la división agregándo punto decimal, y tratando de seguir dividiendo hasta que ya no sea posible:

Pero en este artículo nos vamos a concentrar en las divisiones exactas, específicamente, nos interesa analizar cómo es posible saber si un número cualquiera se puede dividir entre 1, entre 2, entre 3, entre 4, entre 5, entre 6, entre 7, entre 8, entre 9, entre 10 y entre 11, con división exacta.

A eso se le llama criterios de divisibilidad y es un tema sumamente importante para comprender otros temas de álgebra de gran relevancia.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Criterio de divisibilidad entre 1: Todos los números reales se pueden dividir entre 1. No hay mayor dificultad.

Criterio de divisibilidad entre 2: Se pueden dividir entre 2 todos los números pares, es decir, todos aquellos cuya última cifra sea 2, 4, 6, 8, 0. Por ejemplo el 340, el 256 se pueden dividir entre 2.

Criterio de divisibilidad entre 3: Se deben sumar todas las cifras que componen un número entero, por ejemplo, si el número de referencia es 234567 se suman sus cifras: 27, como todavía quedan dos cifras 2 y 7 se suman, lo que nos da 9. El criterio dice “si la sumatoria de las cifras concluye en 3, 6, o 9, el número es divisible entre 3″

Criterio de divisibilidad entre 4: Se toman las dos últimas cifras del número de referencia, y se dividen entre 4, si la división es exacta entonces todo el número es divisible entre 4. Por ejemplo, si queremos averiguar si el número 147896 es divisible entre 4, basta con tomar sus dos últimas cifras 96 (como si fuera noventa y seis) y hacer la división entre 4, su resultado es 24, número entero, división exacta, entonces concluimos que el número completo 147896 es divisible entre 4.

Criterio de divisibilidad entre 5: Si la última cifra es 5 o 0. Por ejemplo, los números 124580 y 3245 son divisibles entre 5 porque terminan en 0 y en 5 respectivamente.

Criterio de divisibilidad entre 6. Si cumple con los criterios de divisibilidad entre 2 y entre 3 entonces también es divisible entre 6, si no cumple alguno de ellos no será divisible. Por ejemplo, el número 141 es divisible entre 3 (revisa el criterio 3 para comprobarlo) pero no cumple el criterio 2, entonces no es divisible entre 6. En cambio, el número 360 cumple tanto el criterio 2 como el criterio 3. Entonces también es divisible entre 6. ¡Compruébalo!

Criterio de divisibilidad entre 8: Si las tres últimas cifras forman un número que se puede dividir entre 8 entonces todo el número es divisible entre 8. Por ejemplo, el número 63,032 para verificar si se puede dividir entre 8, tomamos las 3 últimas cifras 032, como 0 no cuenta, solo es 32, se hace la división entre 8 y es exacta, entonces concluimos que todo el número 63032 es divisible entre 8. ¡Compruébalo! (Tienes razón, es muy parecido al del 4)

Criterio de divisibilidad entre 9. Se suman todas las cifras que componen el número, si el resultado final es 9 entonces es divisible entre 9. (Efectivamente, tienes toda la razón del mundo, se parece mucho al criterio del 3, solamente que para el 3 sería si concluye la suma en 3, 6 o 9 mientras que para el 9 debe ser estrictamente en 9).

También tienes razón al haber notado que falta el criterio para el 7, para el 10 y para el 11. Esto se revisará en el próximo artículo.

Ahora, porque no intentas decirme entre cuáles números del 1 al 9 es divisible el siguiente número: 5570. Escríbelo en los comentarios.

Criterio de divisibilidad entre 7: Se separa la última cifra, se duplica y esto se resta del número que forman las otras cifras juntas, prosiguiendo con esta secuencia hasta quedad algún número que sea múltiplo de 7 o cero. Para que sea mas claro veremos varios ejemplos:

Ejemplo A. Verificar si el número 341523 es divisible entre 7

Criterio de divisibilidad entre 10. Es muy sencillo, tanto como el criterio de divisibilidad entre 5. Solo tienes que observar si la última cifra es 0. Ejemplo de números divisibles entre 10 son: 3240, 12380, 1000

Criterio de divisibilidad entre 11. Se marca una cifra si y una no, una si y una no (dicho de otra forma, se separan cifras de posiciones pares e impares) y se suman por separado. Luego se restan los resultados de las sumas. Si la resta da como resultado cero o múltiplos de 11 como el 11, el 22, el 33, el 44, el 55, etc. entonces sí es divisible entre 11. Veamos como ejemplo el número 526856.

A continuacion un breve video sobre la divisibilidad:

PROGRAMA DE ÁLGEBRA SUPERIOR 2 SEGUNDO SEMESTRE

1. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.

1.1 Propiedades básicas de las operaciones en Z.

1.2 Propiedades de anillo de los enteros.

1.3 Dominios enteros.

1.4 El orden en Z.

1.5 Unidades.

1.6 Inducción.

2. DIVISIBILIDAD.

2.1 Definiciones.

2.2 Propiedades elementales de la divisibilidad.

2.3 El algoritmo de la división.

2.4 El máximo común divisor.

2.5 Soluciones enteras.

2.6 El algoritmo de Euclides.

2.7 Factorización única.

2.8 Congruencias.

3. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES.

3.1 Los números racionales.

3.2 Definiciones.

3.3 Estructura de campo ordenado.

3.4 Los enteros como racionales.

3.5 Los números reales.

3.6 El orden en R.

3.7 Cotas y fronteras.

3.8 Operaciones con reales.

3.9 Propiedades de las operaciones.

3.10Estructura de campo ordenado.

3.11Decimales periódicos y racionales.

3.12Raíces de reales positivos.

3.13Exponentes racionales.

3.14Valor absoluto.

3.15Aproximación.

4. POLINOMIOS Y ECUACIONES.

4.1 Definiciones.

4.2 Los Polinomios como funciones.

4.3 Operaciones.

4.4 El algoritmo de la división.

4.5 Raíces de polinomios.

4.6 Ecuaciones de segundo grado.

4.7 División sintética.

4.8 Cálculo aproximado de raíces.

4.9 Factorización de polinomios.

4.10Raíces Múltiples.

4.11Derivadas y multiplicidad.

4.12Coeficientes y raíces.

4.13Polinomios con Coeficientes reales.

4.14El algoritmo de Euclides.

4.15Teorema de Sturm.

4.16Fracciones racionales.

4.17Descomposición de fracciones parciales.

4.18Ecuaciones de tercer y cuarto grado.

miércoles, 18 de marzo de 2015

Aqui un video de lo que es el principio de Induccion

miércoles, 4 de marzo de 2015

PRINCIPIO DE INDUCCION

EL PRINCIPIO DE INDUCCION

Definición

Sea N = {1, 2, 3, . . .} el conjunto de los n´umeros naturales, y P(n) una cierta propiedad que puede ser o no cierta para cada n´umero natural n. El principio de inducción matemática afirma que si: i) P(1) es cierta, es decir, el n´umero natural 1 verifica la propiedad, y ii) suponiendo que P(k) es cierta se puede probar que P(k + 1) también es cierta, entonces, cualquier n´umero natural verifica la propiedad.

Ejemplos

1. Demuestra que para cualquier n´umero natural n se cumple que:

1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n + 1)/ 2

Solución:

En primer lugar, es fácil comprobar que la propiedad es cierta para n = 1:

1 = 1(1 + 1) /2

Ahora, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que se cumple:

1 + 2 + 3 + . . . + k = k(k + 1)/ 2

hay que probar que se cumple para n = k + 1:

1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + . . . + k) + (k + 1) = k(k + 1) /2 + (k + 1) = = k(k + 1) + 2(k + 1) /2 = (k + 1)(k + 2)/ 2 = (k + 1)[(k + 1) + 1]/ 2

lo que asegura que la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducción matemática, la propiedad es cierta para cualquier n´umero natural.

ANILLOS

En álgebra moderna, un anillo es un sistema algebraico que es una terna formada por un conjunto (A) no vacío y dos operaciones internas, llamadas usualmente "suma" y "producto" (A,+,*), de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que se designa por 0), y el producto * que es asociativo y es ladistributivo respecto de la suma . La inversa de la operación + se llama diferencia y se indica por a - b. En general la operación a.b no tiene inversa ¹ Si el producto es conmutativo se trata de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad o anillo unitario, el elemento neutro multiplicativo, si existe, se señala como 1.

PROPIEDADES

Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.
La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).
Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.
Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.
La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.
Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b es un número entero.
La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).
Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.
La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Anillo de los numeros enteros

ANILLO DE LOS NUMEROS

El anillo de todos los enteros (positivos, negativos o cero), usualmente indicado como Z.

Dado un campo numérico algebraico K, los enteros algebraicos contenidos en K forman un anillo, el anillo de los enteros de K, comúnmente indicado como O_Ku

\mathcal{O}_K

Usando esta notación, se puede escribir Z = O_Q dado que Z es el anillo de enteros del campo Q de números racionales. Y en efecto por esta razón, en la teoría algebraica de números los elementos de Z son comúnmente llamados los "enteros racionales".

El anillo de los números enteros O_K tiene una base integral; lo que significa que existe b₁,...,b_n ∈ O_K (la base integral) tal que cada elemento x en O_K puede ser unívocamente representado como

x=\sum_{i=1}^na_ib_i,

con a_i ∈ Z

Propiedades de la adición en Z

En el conjunto de los números enteros se cumplen todas las propiedades que tú ya conoces para la adición. Estas son: clausura, conmutatividad, asociatividad y elemento neutro.

En ejemplos:

1) Clausura: toda adición tiene resultado.
-2 + -8 = -10

2) Conmutativa: el orden de los sumandos no cambia la suma.
-6 + +2 = +2 + -6

3) Asociativa: sólo podemos sumar 2 números a la vez, y lo representamos con paréntesis.
(-3 + +4) + -2 = -3 + (+4 + -2)

4) Elemento neutro: cualquier entero sumado con 0 tiene como suma a dicho entero.
+8 + 0 = +8

5) Elemento inverso aditivo: en la adición de enteros aparece esta nueva propiedad. Se llama así al número que, sumado con otro, nos da como suma el elemento neutro.
En otras palabras, será sumar 2 números enteros cuya suma nos dé 0.

¿Cuáles serán los números que cumplan esa condición?

Sumemos:

+6 + -6 = 0
-18 + +18 = 0

Quiere decir que llamamos elemento inverso aditivo al opuesto de un número entero.

Entonces, el inverso aditivo de -327 es +327 y el inverso aditivo de +4 es -4, etcétera.