COMBINACIÓN LINEAL

Una combinación lineal es una expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de determinados conjuntos, multiplicados entre sí.

En particular, la combinación lineal de un conjunto de vectores se trata de un vector de la forma

con los  elementos de un cuerpo.

Definición:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B.

Se define como combinación lineal a toda expresión de la forma

Resulta de especial interés la definición de combinación lineal de un vector con respecto a un conjunto.

Espacios vectoriales

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo  y un conjunto  de vectores en V, es decir, .

Se dice que un vector  es combinación lineal de A si .

En términos no tan formales, diremos que  es combinación lineal de vectores de  si podemos expresarlo como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de . En este caso, también se dice que  depende linealmente de los vectores de .

Ejemplos.

 Ejemplo 1. Considere el espacio vectorial R3 de triadas ordenadas de números reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real. 

1. Considere el conjunto S = {~v1}, formado por un único vector ~v1. Entonces, el espacio [S] esta dado por

 [S] = {λ~v1|λ ∈ K}

 Geometricamente [S] esta formado por una línea que pasa por el origen y tiene la dirección del vector ~v1. 

2. Considere el conjunto S = {~v1,~v2}, formado por dos vectores ~v1,~v2. Entonces, el espacio [S] esta dado por

 [S] = {λ1~v1 + λ2~v2|λ1,λ2 ∈ K}

 Geometricamente [S] esta formado por un plano que pasa por el origen y contiene a los vectores ~v1 y ~v2. Mas aun, una normal al plano esta dada por ~v1 × ~v2, donde × indica el producto vectorial de los vectores. 

A CONTINUACIÓN UN VÍDEO CON UNA BREVE EXPLICACIÓN: