ANILLOS

ANILLOS

En álgebra moderna, un anillo es un sistema algebraico que es una terna formada por un conjunto (A) no vacío y dos operaciones internas, llamadas usualmente "suma" y "producto" (A,+,*), de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que se designa por 0), y el producto * que es asociativo y es ladistributivo respecto de la suma . La inversa de la operación + se llama diferencia y se indica por a - b. En general la operación a.b no tiene inversa ¹ Si el producto es conmutativo se trata de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad o anillo unitario, el elemento neutro multiplicativo, si existe, se señala como 1.

PROPIEDADES

1. Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.
2. La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).
3. Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.
5. La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.
6. Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b es un número entero.
7. La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).
8. Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.
9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).