lunes, 13 de julio de 2015

Decimales periódicos y racionales

Número decimal periódico

Un número decimal periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:
\cfrac{1}{3} = 0,\boldsymbol{3}\,333\dots \; ; \quad \cfrac{1}{7} = 0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots
El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:
\cfrac{2}{3} = 0, \overset{\frown}{6} \; ; \quad \cfrac{12}{11} = 1, \overset{\frown}{09}

TIPOS DE NUMEROS PERIODICOS
  • Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
    • Ejemplo: 0,999\dots = 0,\bar{9}
  • Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
    • Ejemplo: 1.91222\dots = 1.91 \bar{2}, en donde 91 es el anteperíodo.

FRACCIÓN CORRESPONDIENTE A UN NUMERO PERIÓDICO
Una fracción puede dar un número decimal periódico:
\begin{array}{l} \cfrac{1}{9} = 0,111111111111...\\ \cfrac{1}{7} = 0,142857142857...\\ \cfrac{1}{3} = 0,333333333333...\\ \cfrac{2}{27} = 0,074074074074...\\ \cfrac{7}{12} = 0,58333333333... \end{array}
Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:
\begin{array}{rcll} x & = & 0,333333\ldots\\ 10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)} \\ 9x & = & 3 & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\ \\ x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3} & \text{(simplificando)} \end{array}
Otro ejemplo:
\begin{array}{rcl} x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\ 100x & = & 285,63636363\ldots \\ 99x & = & 282,78 \end{array}
x = \frac{282,78}{99} = \frac{28278}{9900} = \frac{1571}{550}
El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:
  • Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
    • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
    • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período
Ejemplo:
5,34\ 34\dots = \frac{534-5}{99} = \frac{529}{99}
  • Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
    • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
    • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.
Ejemplo:
12,345\ 67\ 67\ 67\dots = \frac{1234567-12345}{99000} = \frac{1222222}{99000} = \frac{611111}{49500}

Tipo de número periódico resultante[editar]

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:
  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:
\cfrac{7}{20}
como:
20 = 2 \cdot 2 \cdot 5
será exacta; en efecto
\cfrac{7}{20} = \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} = \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} \; \cfrac{5}{5} = \cfrac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)} = \cfrac{35}{100} = 0,35
Otro ejemplo:
\cfrac{7}{25}
como:
25 = 5 \cdot 5
será exacta; en efecto:
\cfrac{7}{25} = \cfrac{7}{5 \cdot 5} = \cfrac{7}{5 \cdot 5} \; \cfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \cfrac{7 \cdot 2 \cdot 2}{(5 \cdot 2)(5 \cdot 2)} = \cfrac{28}{100} = 0,28
  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:
Por ejemplo:
\cfrac{5}{21}
como:
21 = 3 \cdot 7
será periódica pura; en efecto:
\cfrac{5}{21} = 0,238095\ 238095\ 238095\dots
  • Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:
Por ejemplo:
\cfrac{5}{42}
como:
42 = 2 \cdot 3 \cdot 7
será periódica mixta, en efecto:
\cfrac{5}{42} = 0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots
mas no es seguro un resultado próximo.

NÚMEROS RACIONALES
  • Los racionales son números x que se pueden expresarse como fracción 'Números racionales'
    , en la cual p es un número entero que se denomina numerador q es entero distinto de cero que se denomina denominador.
  • Son números racionales, fracciones y decimales finitos, 'Números racionales'
    . También pertenecen a los números racionales los números 8,-5, 56 , 0, cuyo denominador es el 1, el que no se escribe. Por lo tanto, el conjunto Q de los racionales tiene subconjunto a los enteros (Z), a los cardinales (No) y a los Naturales (N)
  • Los Irracionales en cambio son aquellos números que no pueden ser escritos en forma fraccionaria, por ejemplo: los números decimales infinitos no-periódicos, raíces no exactas y algunas constantes. ( 0,5423178356493548712....; ; )
  • La unión de los racionales (Q) y los Irracionales (Q*) da como resultado un nuevo conjunto denominado: Números Reales (R) .
    • Clasificación de los Racionales: Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como decimal.
    Fracciones comunes:
    • Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.
    • Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador
    • Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.
    Decimales
    • Finitos
    • Infinitos Periódicos
    • Infinitos Semiperiódicos
  • Los decimales finitos son aquellos cuya parte decimal posee un número determinado de dígitos 1,875
  • Los decimales infinitos poseen una cantidad ilimitada de dígitos después de la coma. A su vez, pueden ser periódicos o semiperiódicos
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