Algebra Superior 2: Raíces de reales positivos.

Raíces de reales positivos.

Raíces de un polinomio

La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.
Por ejemplo el polinomio

f(x) = x² + x - 12

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

x² + x - 12 = 0	Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0	Factorizando.
x = - 4	Solución 1
x = 3	Solución 2

Puesto que x₁ = - 4 y x₂ = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x² + x - 12

Las raíces de f(x) = x³ - 4 x² + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3 ¿Por qué?

Factorización de un polinomio

El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio (Teorema fundamental del Álgebra).
Para que podamos factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces. Cuando ya lasntengamos, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma ( x - r ) donde r es una de las raíces.

Esto es, si r₁, r₂, ... , r_n son raíces del polinomio f(x) entonces la factorización de f(x) es:

f(x) = (x - r₁) (x - r₂) ... (x - r_n)

Por ejemplo, si

f(x) = x³ - 4 x² + x + 6 como sus raíces son x = - 1, x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como

f(x) = (x - (-1)) (x - 2) (x - 3) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)
f(x)= x² + x - 12 como sus raíces son x = - 4 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como

f(x) = (x - (-4)) (x - 3) = (x + 4) (x - 3)

Raíces Cuadradas de Números Reales Negativos

El número complejo

es $\sqrt{-1}$ . ¿Qué podemos decir acerca de las raíces cuadradas de los números reales negativos en general?

es un real negativo entonces

es un real positivo y $\sqrt{-a}$ (la raíz cuadrada positiva de

), es un número real. Tenemos

Así que $\sqrt{-a}i$ y $-\sqrt{-a}i$ son las raíces cuadradas de

para

La raíz cuadrada principal de

es $\sqrt{-a}i$ . Es denotada por $\sqrt{a}$ .

Ejemplo 1.29.

Si y son números reales positivos . Sin embargo, en el caso de los reales negativos la igualdad no es válida. En efecto,
mientras que
mientras que