R: Estructura de Campo

1.1. Axiomas de Campo
El conjunto de los n umeros reales R resulta ser la uni on de los n umeros
racionales Q con los irracionales I. Para cada para de n umeros reales x; y se
de nen las operaciones binarias de suma: x+y; y multiplicaci on: x · y. Dicho
par de operaciones satisfacen los 6 Axiomas de Campo, esto es,

AXIOMA 1: PROPIEDAD CONMUTATIVA.
x + y = y + x
x · y = y · x

AXIOMA 2: PROPIEDAD ASOCIATIVA.
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)

AXIOMA 3: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.
x · (y + z) = x · y + x · z

AXIOMA 4: EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS.
x + 0 = x
x · 1 = x
1
AXIOMA 5: EXISTENCIA DE INVERSO ADITIVO.
x + (−x) = 0

AXIOMA 6: EXISTENCIA DE INVERSO MULTIPLICATIVO.
x · x􀀀1 = 1; x ̸= 0

Teoremas de Campo
Nota: de los axiomas anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales
de la Aritm etica con las que est a familiarizado el lector por sus estudios
de Algebra Elemental. Las m as importantes de ellas se recogen a continuaci
on como teoremas. En todos estos teoremas las letras: a; b; c; d; representan
n umeros reales cualesquiera.

Teorema 1. Ley de Simpli caci on para la suma.
a + b = a + c ⇔ b = c

Teorema 2. Posibilidad de la sustracci on. Dados a y b existe uno y s olo
un x tal que a+x = b: Este x se designa por b−a: En particular, 0−a
se escribe −a y se denomina el negativo de a.

Teorema 3. b − a = b + (−a):
Teorema 4. −(−a) = a:

Teorema 5. a · (b − c) = a · b − a · c:
Teorema 6. 0 · a = a · 0 = 0:

Teorema 7. Ley de simpli caci on para la multiplicaci on. Si a · b = a · c
y a ̸= 0; entonces b = c:

Teorema 8. Posibilidad de la divisi on. Dados a y b, con a ̸= 0; existe
uno y s olo x tal que a · x = b. El n umero x se designa por b=a o b
a ; y se denomina cociente de b y a. En particular, 1=a se escribe tambi en a􀀀1
y se denomina rec proco de a:

Teorema 9. Si a ̸= 0, entonces, b=a = b · a􀀀1:

Teorema 10. Si a ̸= 0, entonces, (a􀀀1)􀀀1 = a:

Teorema 11. Si a · b = 0, entonces, a = 0 o b = 0:

Teorema 12. (−a) · b = −(a · b); (−a) · (−b) = a · b:

R: Campo Ordenado
2.1. Axiomas de Orden en R
Existe un subconjunto de R, denominado Conjunto de N umeros Reales
Positivos, y denotado por R+, que satisface las siguientes propiedades:

1. AXIOMA 1. LEY DE TRICOTOM IA. Para cada n umero real a s olo
una de las siguientes proposiciones es verdadera:
a ∈ R+
a = 0
−a ∈ R+

2. AXIOMA 2. LEY DE CLAUSURA PARA LA SUMA.
Si a; b ∈ R+ entonces a + b ∈ R+:

3. AXIOMA 3. LEY DE CLAUSURA PARA EL PRODUCTO.
Si a; b ∈ R+ entonces a · b ∈ R+:

2.2. Relaci on de Orden en R

1. DEFINICI ON 1: el conjunto de los N umeros Reales Negativos se de ne
como
R􀀀 := {a ∈ R| − a ∈ R+}:

2. DEFINICI ON 2: sean a; b ∈ R n umeros reales arbitrarios. Se dice que
a es menor que b, y se escribe a < b, ssi b − a ∈ R+:

3. DEFINICI ON 3: sean a; b ∈ R n umeros reales arbitrarios. Se dice que
a es mayor que b, y se escribe a > b, ssi b < a.

4. La aplicaci on de las de niciones anteriores permite aseverar que:
a < 0 ⇔ 0 − a ∈ R+ ⇔ −a ∈ R+ ⇔ a ∈ R􀀀;
o sea,
R􀀀 = {a ∈ R : a < 0}:
5. La aplicaci on de las de niciones anteriores permite aseverar que:
a > 0 ⇔ a − 0 ∈ R+ ⇔ a ∈ R+;
o sea

R+ = {a ∈ R : a > 0}:
6. De los anteriores notamos que: R = R+ ∪ R􀀀 ∪ {0}.

7. Nota: las expresiones a < b, b > a, y otras similares, se denominan
Desigualdades

aqui un video de la explicacion de un cuerpo: